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前阵子，有小伙伴在我B站的算法教程底下留言
小伙伴们有任何疑问或者希望我讲解任何内容，都可以在我的或公众号（xmg_mj）留言哦，我会尽我最大能力、尽量抽时间去写文章或录视频来回应大家。其实快速幂相关的问题，是参加算法竞赛（NOI、ACM等）的小伙伴必须要掌握的一小块基础内容。当然，就算你不打算参加算法竞赛，个人觉得只要你是一名程序员，就必须要掌握快速幂算法。
在《计算机程序设计艺术》一书中就有提到快速幂算法，此书的英文名是The Art of Computer Programming，简称TAOCP。
TAOCP出自Donald Ervin Knuth前辈之手。Knuth前辈是在计算机领域成就颇丰的知名科学家，是著名的KMP算法的发明人之一，在1974年获得“计算机领域的诺贝尔奖”：图灵奖（当年他才36岁）。目前TAOCP已经出版了第1、2、3、4A卷，按照计划，还有第4B、5、6、7卷未出版。第一卷首发于1968年，Knuth前辈今年是82岁高寿，据说他计划在105岁之前完成这部巨著。
关于TAOCP，微软创始人Bill Gates曾说过
If you think you're a really good programmer… read (Knuth's) Art of Computer Programming… You should definitely send me a resume if you can read the whole thing.
大概意思是：如果你认为自己是一位非常优秀的程序员，那就应该阅读Knuth的TAOCP；如果你能读懂全部内容，可以直接给我发送一份简历。据说Knuth前辈的言辞更加犀利：看不懂就别当程序员了！不过TAOCP对于新手来说，阅读难度的确比较大，书中的所有示例都使用了Knuth前辈自创的MIX汇编语言。
今天就抽空写一篇文章来讲解一下经典的快速幂算法哈。不过要想彻底看懂本文，有几个前提条件
众所周知，x的n次幂，是指x的n次方，也就是n个x相乘，比如2的4次幂就是2 * 2 * 2 * 2。
为了简化描述，后面x的n次幂，我就简化为x ^ n（本文中的 ^ 并不是按位异或的意思）
那如何通过编程求幂？假设只考虑x、n是整数且n大于等于0的情况，最容易想到的方法如下所示（这里采用的编程语言是Java，但没有涉及Java特殊的语法。所以就算你没用过Java，也可以看懂）
int power(int x, int n) { int result = 1; while (n-- > 0) { result *= x; } return result;} 很显然，这种方法的时间复杂度是O(n)、空间复杂度是O(1)
所谓快速幂，就是用效率更高（时间复杂度更低）的方法求幂，可以将时间复杂度优化至O(logn)。这里介绍2种求解方法：递归、非递归
根据上图中的等式，不难写出以下代码
int fastPower(int x, int n) { if (n == 0) return 1; int result = fastPower(x, n >> 1); result *= result; return (n & 1) == 0 ? result : result * x;} 这个方法的时间、空间复杂度都是O(logn)。
那如何分析出这个方法的复杂度呢？
如果你的算法功底比较薄弱，可以代入特定值作一个大概的分析，比如当n为16时，方法的递归调用过程如下图所示
不难看出，每次调用时，n的规模都减半，所以时间和空间复杂度都是O(logn)
如果你的算法功底还行，那就可以用更专业的方法去分析它的复杂度（没有一定的算法基础，可能会看不懂）
我们以求3 ^ 21为例子，来分析一下非递归的代码应该怎么写。
首先21的二进制形式是10101
不难得出以下结论
所以，综合以上种种结论，可以总结出以下解题步骤
int fastPower(int x, int n) { int result = 1; while (n != 0) { if ((n & 1) == 1) { result *= x; } x *= x; n >>= 1; } return result;} 代入3和21，fastPower(3, 21)的执行流程如下
Leetcode上的第50号题，刚好就可以用今天讲解的快速幂算法。以下是我的代码实现
// 递归double myPow(double x, int n) { if (n == 0) return 1; if (n == -1) return 1 / x; double half = myPow(x, n >> 1); half *= half; return ((n & 1) == 1) ? half * x : half;}// 非递归double myPow(double x, int n) { long y = (n < 0) ? -((long) n) : n; double result = 1.0; while (y > 0) { if ((y & 1) == 1) { result *= x; } x *= x; y >>= 1; } return (n < 0) ? (1 / result) : result;} 需要提醒的是
时间有限，这篇文章就先说到这了哈。给小伙伴们留2个快速幂相关的问题，有空的话，可以去研究一下
如果你特别希望我写点什么方面的内容，也可以留言建议，谢谢。欢迎关注
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