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快速幂算法是程序员必备的技能之一，了解它的实现方法和原理非常重要。以下将从基础到高级深入讲解快速幂的实现方法，并结合实际案例进行分析。

快速幂的重要性

快速幂算法能够在O(log n)的时间复杂度内完成n次幂的计算，这对于处理大数运算尤为重要。传统的乘法算法时间复杂度为O(n)，在处理非常大的指数时效率低下。快速幂算法通过将指数分解为二进制形式，利用乘法的平方性质，显著提升了计算效率。

快速幂的递归实现

递归实现的快速幂算法基于以下公式：

x^n = (x^(n/2))^2 × (如果n是奇数，则再乘以x)

递归实现的代码示例如下：

int fastPower(int x, int n) {    if (n == 0) return 1;    int result = fastPower(x, n >> 1);    result *= result;    return (n & 1) == 0 ? result : result * x;}

递归实现的优点是代码简洁，逻辑清晰。每次递归将指数n减半，直到n变为0。这种方法的时间复杂度为O(log n)，空间复杂度为O(log n)（递归深度）。

快速幂的非递归实现

非递归实现通过迭代的方式逐步计算幂次，避免了递归的潜在栈溢出问题。代码示例如下：

int fastPower(int x, int n) {    int result = 1;    while (n != 0) {        if ((n & 1) == 1) {            result *= x;        }        x *= x;        n >>= 1;    }    return result;}

非递归实现的优点是无限循环空间，适合处理较大的指数值。同时，通过检查n的二进制位是否为1，来决定是否需要将当前结果乘以x。

实际案例分析

以计算3^21为例，非递归实现的执行流程如下：

最终结果为10460353203。

Leetcode应用

Leetcode上的第50号问题“矩阵的最短路径”可以通过快速幂算法来优化。以下是我的Java实现：

// 递归实现double myPow(double x, int n) {    if (n == 0) return 1;    if (n == -1) return 1 / x;    double half = myPow(x, n >> 1);    half *= half;    return ((n & 1) == 1) ? half * x : half;}// 非递归实现double myPow(double x, int n) {    long y = n < 0 ? -((long) n) : n;    double result = 1.0;    while (y > 0) {        if ((y & 1) == 1) {            result *= x;        }        x *= x;        y >>= 1;    }    return n < 0 ? 1 / result : result;}

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